Chapter 11: Axioms and Theorems Chapter 11: Axioms and Theorems

(11.3) Axiom, Set membership:  If  x  dnof in   P ,  then
                                         |-      P Î {x | R: E}     º     ($x | R: P = E) .

(11.4) Axiom, Extensionality:  If  x  dnof in  S,T ,  then
                                         |-    S = T     º     ("x |: x Î S    º   x Î T) .

(11.5)  Theorem:  If  x  dnof in  S ,  then  |-      S   =   {x | x Î S} .

(11.6)  Theorem:  If  y  dnof in  R,E ,  then
                                        

|-    {x | R: E}   =   {y | ($x | R: y = E)} .

(11.7)  Theorem:   x Î {x | R}    º   R
(11.9)  Theorem:   {x | Q}  =  {x | R}     º     ("x |: Q º R)
(11.10) Metatheorem:   |-    {x | Q}  =  {x | R}   if and only if    |-    Q º R .

(11.12) Axiom, Size:  If  x  dnof in  S , then   |-     #S   =   (åx | x Î S: 1).

(11.13) Axiom, Subset: If  x  dnof in  S,T , then
                                         |-     S Í T   º   ("x | x Î S: x Î T).

(11.14) Axiom, Proper subset:   S Ì T       º       S Í T Ù S ¹ T
(11.15) Axiom, Superset:   T Ê S   º   S Í T
(11.16) Axiom, Proper superset:   T É S     º     S Ì T

(11.17) Axiom, Complement:   x Î    ~ S     º     x Ï S

(11.19) Theorem:   ~ ~ S   =   S

(11.20) Axiom, Union:   x Î S ÈT      º     x Î S   Ú   x Î T

(11.21) Axiom, Intersection:   x Î S ÇT      º     x Î S   Ù   x Î T

(11.22) Axiom, Difference:   x Î S-T     º     x Î S   Ù   x Ï T

(11.23) Axiom, Power set:   y Î PS     º    y Í S


You may also use the following facts without giving references for them:
(1) |-  x Î Æ   º   false ,   and   |-  x Î U    º   true .
(2) {E1, ¼, En}  means  {x|  (x = E1)  Ú  ¼  Ú  (x = En)} , if  x  dnof in  E1,¼,En .
(3) {x| R}  is an abbreviation for  {x| R: x} .   You may also use Dummy Renaming for set comprehensions from class. Always mention ``dnof'' restrictions and take steps to satisfy them as necessary.

File translated from TEX by TTH, version 2.60.
On 15 Mar 2001, 19:27.