Introduction à la Théorie des Nombres

MAT3632


Professeur:

Youness Lamzouri. Bureau: 6439 André Aisenstadt. Email: Lamzouri @ dms.umontreal.ca


Horaire:


Périodes de disponibilité:

Je serais disponible les mardis de 13h30 à 15h00.


Objectifs:

Ce cours a pour but de donner une introduction à la théorie des nombres, que plusieurs des grands mathématiciens ont surnomé "la reine des mathématiques". Cette merveilleuse discipline occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. En effet plusieurs des problèmes ouverts en théorie des nombres possèdent des énoncés très simples et peuvent même être compris par des non-mathématiciens. Nous allons voir certains de ces énoncés tels la conjecture de Goldbach ou celle des nombres premiers jumeaux. Voici le plan de cours (format pdf).

Devoirs:

  • Devoir 1 à rendre le Vendredi 21 Séptembre 2007. Voici le corrigé du devoir 1.
  • Devoir 2 à rendre le Vendredi 28 Séptembre 2007. Voici le corrigé du devoir 2.
  • Devoir 3 à rendre le Vendredi 5 Octobre 2007. Voici le corrigé du devoir 3.
  • Devoir 4 à rendre le Vendredi 12 Octobre 2007. Voici le corrigé du devoir 4.
  • Devoir 5 à rendre le Lundi 29 Octobre 2007 exceptionellement (à cause des intras).Voici le corrigé du devoir 5.
  • Devoir 6 à rendre le Vendredi 9 Novembre 2007. Voici le corrigé du devoir 6.
  • Devoir 7 à rendre le Vendredi 16 Novembre 2007.Voici le corrigé du devoir 7.
  • Devoir 8 à rendre le Vendredi 23 Novembre 2007. Voici le corrigé du devoir 8.
  • Devoir 9 à rendre le Vendredi 30 Novembre 2007.
  • Devoir 10 à rendre le Vendredi 7 Décembre 2007.
  • Devoir 11 à rendre le Vendredi 21 Décembre 2007.

    Examens:

  • EXAMEN INTRA , le Lundi 29 Octobre de 13h30 à 15h30, local Z-345. Matière: Chapitres 1, 2, 3, ainsi que la moitié du chapitre 4 (on s'arrête à la matière du Lundi 15 Octobre 2007). Il y'aura une revision durant le cours du Vendredi 19 Octobre. Durant la semaine de relache je serais disponible le Lundi 22 Octobre de 13h à 15h. Si vous ne pourriez pas venir envoyez moi des emails avec vos questions. Voici une liste d'exercices pour se préparer à l'examen: Révision Intra.
    Remarque: 50% des problèmes de l'intra seront calculatoires: (calculer des residus, solutions de congruences linéaires, PGCD, algorithme d'Euclide,...).
    Voici l'Examen Intra, et voici son corrigé.
  • EXAMEN FINAL , le Vendredi 21 Décembre de 9h00 à 12h00, local Z-220. Matière: Chapitres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Voici une liste d'exercices pour se préparer à l'examen: Révision Final. Remarque: 40% des problèmes du final seront des calculs.

  • Contenu du cours:

  • Chapitre 1. Notions préliminaires: le principe du bon ordre, l'induction mathématique, le théorème du binome, le principe des tiroirs, la divisibilité.
  • Chapitre 2. Les nombres premiers: le théorème fondamental de l'arithmétique, le crible d'Ératosthène, la distribution des nombres premiers.
  • Chapitre 3. Les congruences: propriétés, le petit théorème de Fermat, le théorème de Euler, le théorème de Wilson, et le théorème du reste chinois.
  • Chapitre 4. Fonctions importantes de la théorie des nombres: [x], fonctions arithmétiques, fonction de Euler, fonction de Mobius, fonctions multiplicatives, inversion de Mobius.
  • Chapitre 5. Equations diophantiennes: le dernier théorème de Fermat, somme de carrés et de cubes, problème de Waring.
  • Chapitre 6. La réciprocité quadratique: le symbole de Legendre, les résidues quadratiques, le lemme de Gauss, la loi de la réciprocité quadratique.
  • Chapitre 7. Distribution des nombres premiers: le postulat de Bertrand, les inégalités de Tchebychev, le théorème des nombres premiers, les grandes conjectures, l'hypothèse de Riemann.
  • Chapitre 8. Les fractions continues: propriétés, approximation des nombres irrationels, le théorème de Dirichlet, les nombres algébriques et transcendants.

  • Bibliographie:



    Évaluation: